Co ważne, odwzorowania ciągłe zachowują zwartość i spójność zbiorów.Inaczej można ciągłe odwzorowania definiować jako takie, w których przeciwobrazami zbiorów otwartych są zbiory otwarte (przy czym oczywiście chodzi otwartość jako podzbioru dziedziny i obrazu, a nie całych przestrzeni).
Jeśli mamy ciągłą bijekcję, to czy odwzorowanie odwrotne też jest ciągłe? Nie koniecznie. Na przykład odwzorowanie
Jest ciągłe. Ale już odwrotne rozrywa okrąg, tzn. jeśli weźmiemy ciąg zbieżny do punktu (0;0) od strony 2π, to po przekształceniu przez F-1 dostaniemy ciąg, który co prawda jest ciągiem Cauchyego, ale byłby zbieżny do 2π, a to już jest poza obrazem.Można to też pokazać tak.
Odcinek [0,ε) jest otwarty, traktowany jako podzbiór [0,2π). Natomiast już łuk, który jest odwzorowywany na ten odcinek w okręgu nie jest otwarty -- nie istnieje kula bez brzegu o środku (0;0) całkowicie zawarta w tym łuku. Czyli przeciwobrazem zbioru otwartego nie jest zbiór otwarty.Można też zobaczyć, że odwzorowanie F zachowuje spójność zbiorów, a F-1 już nie -- spójne otoczenie punktu (0;0) jest rozrywane na dwa kawałki.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz