Twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli

Twierdzenie Banacha-Tarskiego mówi, że trójwymiarową kulę można rozdzielić na skończoną liczbę podzbiorów, a potem z tych kawałków złożyć przez izometrie kulę o większym promieniu. Czyli przy tych operacjach nie jest zachowana objętość.

Każda przyzwoita definicja miary wymaga, żeby miara była addytywna, czyli np. żeby suma dwóch rozłącznych odcinków o długości 1 miała długość 2. Czyli jak sumujemy skończoną liczbę kawałków, powinniśmy mieć zachowaną objętość.

W paradoksalnym rozkładzie kuli rozdzielamy kulę na zbiory, które nie mają określonej objętości (są niemierzalne w sensie Jordana), dlatego nie musi być spełniona addytywność miary. W dowodzie konstruuje się zbiory, które są niemierzalne nawet silniejszej mierze (Lebesgue'a). Istnienie takich niemierzalnych zbiorów w ℝⁿ zapewnia pewnik wyboru. Pewnik wyboru mówi, że jeśli mamy dowolny zbiór niepustych zbiorów, to istnieje funkcja wybierająca z każdego z tych zbiorów jeden element:

Pewnik wyboru wynika z intuicyjnego przekonania, że z każdego zbioru da się wybrać element. Jeśli tak założymy, niestety musimy się pogodzić z istnieniem zbiorów niemierzalnych w sensie Lebesgue'a, czyli musimy się przyzwyczaić do paradoksalnego rozkładu kuli.

Wyznacznik macierzy

Wyznacznik w n-wymiarowej przestrzeni jest to odwzorowanie, które n wektorom przyporządkowuje liczbę.

Jego naturalna interpretacja, to jest objętość równoległościanu rozpiętego na tych wektorach. Wynika to z tego, że wyznacznik jest wieloliniowy, tzn. liniowy w każdym z argumentów, np. drugim:

Dodatkowo jest antysymetryczny, tzn. można dowolnie zamieniać miejscami argumenty, tylko przy zamianie wyskakuje nam -1.

Czyli jak go „przekosimy”, to nie zmieni się objętość, a jak przemnożymy jakieś ramię przez 2, to nam dwukrotnie zwiększy się objętość. Jest taka zorientowana objętość —  jeśli damy wektory w innej skrętności, to znak będzie „-”. Z tego od razu wynika, że na liniowo zależnych wektorach daje 0.

Co ładnie zgadza nam się z interpretacją jako objętość („płaski” równoległościan ma zerową objętość).
Dodatkowo czasem definiuje się, że wyznacznik bazy ma być równy 1. Ta stała określa jednostkę, w jakiej mierzymy objętość na naszej przestrzeni wektorowej. Nic nie stoi na przeszkodzie, żeby określić że akurat nasza baza ma objętość np. 0.5 m³.


Co to jest wyznacznik macierzy? Jeśli mamy jakieś odwzorowanie liniowe, możemy zadziałać nim na elementy bazy. Wyznacznik odwzorowania, to objętość obrazu kostki o jednostkowej objętości.

Jeśli zapiszemy A przy pomocy macierzy w bazie o jednostkowej objętości, to dostaniemy, że wyznacznik macierzy to objętość równoległościanu rozpiętego na jej kolumnach (bo kolumny to obrazy bazy).
Wyznacznik macierzy nie zmienia się przy zmianie bazy. Należy jednak zachować tu ostrożność, ponieważ warto myśleć o wyznaczniku jako o własności przestrzeni. Przy zmianie bazy współczynnik (stała) wyznacznika się zmienia, i licząc wyznacznik macierzy musimy wyznacznik i macierz wyrazić w tej samej bazie.