Twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli

Twierdzenie Banacha-Tarskiego mówi, że trójwymiarową kulę można rozdzielić na skończoną liczbę podzbiorów, a potem z tych kawałków złożyć przez izometrie kulę o większym promieniu. Czyli przy tych operacjach nie jest zachowana objętość.

Każda przyzwoita definicja miary wymaga, żeby miara była addytywna, czyli np. żeby suma dwóch rozłącznych odcinków o długości 1 miała długość 2. Czyli jak sumujemy skończoną liczbę kawałków, powinniśmy mieć zachowaną objętość.

W paradoksalnym rozkładzie kuli rozdzielamy kulę na zbiory, które nie mają określonej objętości (są niemierzalne w sensie Jordana), dlatego nie musi być spełniona addytywność miary. W dowodzie konstruuje się zbiory, które są niemierzalne nawet silniejszej mierze (Lebesgue'a). Istnienie takich niemierzalnych zbiorów w ℝⁿ zapewnia pewnik wyboru. Pewnik wyboru mówi, że jeśli mamy dowolny zbiór niepustych zbiorów, to istnieje funkcja wybierająca z każdego z tych zbiorów jeden element:

Pewnik wyboru wynika z intuicyjnego przekonania, że z każdego zbioru da się wybrać element. Jeśli tak założymy, niestety musimy się pogodzić z istnieniem zbiorów niemierzalnych w sensie Lebesgue'a, czyli musimy się przyzwyczaić do paradoksalnego rozkładu kuli.