Pamiętamy, że e = 2.72 .Potrzebujemy punktu startu, na przykład jeśli znamy na pamięć potęgi dwójki, to od razu mamy 16 ² = 256, czyli 1.6² = 2.56.
Teraz szukamy takiego x, że:
( 1.6 + x )² = e
1.6² + 2 × 1.6 × x + x² = 2.72
Stąd:
3.2 × x = 0.16 - x²
x = 0.05 - x² / 3.2
Oszacujmy x². Szybki rachunek pokazuje 17² = 289, czyli ponad 272, czyli na pewno x < 0.1.
Stąd x² < 0.01, czyli x²/3.2 < 0.005, czyli w sumie z niedokładnością podania wartości e, mamy błąd nie większy niż 0.01.
Ku uciesze gawiedzi po dwudziestu sekundach rachunków podajemy wynik:
√_e = 1.65 ± 0.01
Znany fizyk Richard Feynman opisuje w swojej książce, jak w jednej brazylijskiej restauracji tą samą metodą licząc ∛____1729 wygrał pojedynek z pewnym japońskim sprzedawcą liczydeł. Siła takich przybliżonych metod jest wielka i są tym przydatniejsze, im trudniejsze zadanie mamy do rozwiązania.
Nic nie stoi na przeszkodzie, żeby liczyć to dalej. Jako punkt wyjścia używamy liczby 1.65 z poprzedniego rachunku.
165² = 27225
Jak widać będziemy potrzebowali e z dokładnością do czwartego miejsca po przecinku (niektórzy pamiętają):
e = 2.7183 ± 0.00005
Dalej wzór skróconego mnożenia, który tak naprawdę ukrywa liczenie pochodnej:
2 × 1.65 × x = 2.7183 - 2.7225 - x²
Z poprzedniego wyniku wiemy, że x < 0.01, czyli x² < 0.0001, stąd ostatni człon po podzieleniu przez 3.3 jest mniejszy niż 0.00005. Błąd z pierwszego członu jest taki sam, i po szybkim dzieleniu 42 ÷ 33 ≈ 13 otrzymujemy:
x = -0.0013 ± 0.0001
Po dodaniu do wyjściowego 1.65 mamy:
√_e = 1.6487 ± 0.0001
W ten sposób bez kalkulatora policzyliśmy pierwiastek kwadratowy z dokładnością do czwartego miejsca po przecinku.
Znany fizyk Richard Feynman opisuje w swojej książce, jak w jednej brazylijskiej restauracji tą samą metodą licząc ∛____1729 wygrał pojedynek z pewnym japońskim sprzedawcą liczydeł. Siła takich przybliżonych metod jest wielka i są tym przydatniejsze, im trudniejsze zadanie mamy do rozwiązania.
Nic nie stoi na przeszkodzie, żeby liczyć to dalej. Jako punkt wyjścia używamy liczby 1.65 z poprzedniego rachunku.
(1.65 + x )² = e
Teraz już musimy wziąć kartkę i ołówek, bo trzeba przemnożyć trzycyfrowe liczby:165² = 27225
Jak widać będziemy potrzebowali e z dokładnością do czwartego miejsca po przecinku (niektórzy pamiętają):
e = 2.7183 ± 0.00005
Dalej wzór skróconego mnożenia, który tak naprawdę ukrywa liczenie pochodnej:
2 × 1.65 × x = 2.7183 - 2.7225 - x²
I znowu kartka się przyda, bo trzeba odjąć dwie pięciocyfrowe liczby:
3.3 × x = -0.0042 - x²Z poprzedniego wyniku wiemy, że x < 0.01, czyli x² < 0.0001, stąd ostatni człon po podzieleniu przez 3.3 jest mniejszy niż 0.00005. Błąd z pierwszego członu jest taki sam, i po szybkim dzieleniu 42 ÷ 33 ≈ 13 otrzymujemy:
x = -0.0013 ± 0.0001
Po dodaniu do wyjściowego 1.65 mamy:
√_e = 1.6487 ± 0.0001
W ten sposób bez kalkulatora policzyliśmy pierwiastek kwadratowy z dokładnością do czwartego miejsca po przecinku.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz