Dyfeomorfizmy

Dyfeomorfizm to odwzorowanie klasy C¹, którego odwzorowanie odwrotne też jest klasy C¹. Czasem nazywę pisze się diffeomorfizm (od różniczkowalności). Wiemy że nie zawsze odwzorowanie odwrotne do ciągłego jest ciągłe (np. z odcinka na okrąg), i tak samo jest z różniczkowalnymi. Na przykład x³.
Ma zerową pochodną w zerze, więc odwrotne ma nieskończoną (jest nieróżniczkowalne). F -- lokalny dyfeomorfizm, to znaczy że każdego punku istnieje otwarte otoczenie, na którym F jest dyfeomorfizmem.
Jest bardzo fajne twierdzenie, które działa w wielu wymiarach. Jeśli F' w punkcie x₀ jest bijekcją, to F jest lokalnym dyfeomorfizmem w x₀. Przy czym pochodną w punkcie rozumiemy tu jako odwzorowanie liniowe (macierz):
Bijekcja, czyli detF' ≠ 0. Dla przypadku jednowymiarowego, po prostu ma niezerować się pochodna. Czyli x³ nie jest lokalnym dyfeomorfizmem w x=0, ale jest wszędzie indziej.
Dyfeomorfizmy są izomorfizmami gładkich rozmaitości, i prawdę mówiąc nie znam żadnego lokalnego układu współrzędnych np. na kuli czy walcu, który nie byłby lokalnym dyfeomorfizmem.