Najważniejsza własność to to, że każdą liczbę naturalną da się rozłożyć na czynniki pierwsze, tzn. każda liczba jest iloczynem liczb pierwszych. Co więcej, ten rozkład jest jednoznaczny, czyli żaden iloczyn liczb pierwszych nie jest równy innemu iloczynowi liczb pierwszych.
Dzięki temu istnieje bijekcja między
a wielozbiorami liczb pierwszych.Co nam to daje? Na przykład jak chcemy dowiedzieć się czy n jest dzielnikiem liczby m, to rozkładamy obie na czynniki pierwsze i sprawdzamy czy rozkład n zawiera się w rozkładzie m. Jeśli szukamy największego wspólnego dzielnika, to wybieramy po prostu wszystkie powtarzające się liczby (z maksymalnymi krotnościami) z obu rozkładów — czyli przecięcie rozkładów. Jeśli szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności, to po prostu bierzemy sumę rozkładów. W ten sposób skracamy ułamki, wyciągamy liczby przed nawias itp.
Co ciekawe, nie we wszystkich pierścieniach liczby pierwsze mają tą fajną własność. Szczerze mówiąc trudno mi podać jakiś pierścień, inny niż
, w którym by miały.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz