arsinh

Każdy chyba czuje, że area sinus hiperboliczy musi mieć coś wspólnego z logarytmem, bo sinus hiperboliczny to z grubsza eksponens. Ich asymptotyczne zachowania są takie same. Przy dążeniu do +∞
więc
Okazuje się że prawdziwy jest związek:
Co ciekawe, nie trzeba wstawiać modułu pod logarytmem, bo liczba pod logarytmem jest wciąż dodatnia (dla x→-∞ ta liczba dąży do 0, czyli logarytm do -∞). Ujemną stronę arsinh odwzorowuje kawałek logarytmu od 0 do 1, i ona jest dokładnie symetryczna do tej dodatniej odwzorowywanej przez logarytm od 1 do ∞. Na pierwszy rzut oka nie widać dlaczego miałoby tak być (ujemna i dodatnia strona logarytmu wyglądają zupełnie inaczej), ale okazuje się ze jest.
Ten wzorek łatwo można pokazać licząc pochodne obu stron:
Pochodne się zgadzają, wartość w np. x = 0 się zgadza.
Kiedyś udało mi się z kolegą z liceum go wyprowadzić licząc na dwa sposoby całkę:Raz wychodzi coś z arsinh, a raz z log. Niestety nie potrafię sobie przypomnieć tego drugiego sposobu. No i jeszcze przydałoby się wyprowadzić analogiczny wzór dla arcosh.