Prędkość kątowa

Mamy dwa układy współrzędnych, przy czym jeden z nich ma zmienne w czasie wersory. Podstawowa definicja dotyczy różniczkowania w danym układzie współrzędnych (tu primowanym):
Niektórzy oznaczają to d', ale ja wolę notację w kreską. Weźmy wektor, przy czym nie przywiązujemy oznaczeń do wielkości fizycznych, tylko do samych wektorów, a dokładniej do ich współczynników:
Różniczkujemy stronami i z wyniku separujemy pochodną w primowanym układzie.
Dostajemy pewną resztę (dodatek). Tu pojawia się nowe oznaczenie A' — to znaczy po prostu wektor współczynników a_i' (fizycy często oznaczają to po prostu A, bo to jest ten sam wektor, tylko zapisany w innej bazie). Czyli dostaliśmy:
Najciekawsze okazuje się to, że jeśli założymy że każdy z naszych układów jest ortonormalny, to łatwo można ten dodatek zapisać jako iloczyn wektorowy A' z pewnym wektorem (oznaczonym ω) zależnym tylko od pochodnych wersorów e'. Czyli da się opisać tę ewolucję czasową układu primowanego (oczywiście chwilową -- w danym punkcie czasu) niezależnie od współczynników rozkładów wektora A w bazie e i e'. To jest właśnie prędkość kątowa.