Jest to szereg potęgowy. Wiemy że szeregi potęgowe są zbieżne w pewnym kole zbieżności. Są tam też bezwzględnie zbieżne (czyli zbieżny jest szereg modułów elementów).
Gdzie lim inf (limes inferior) znaczy granicę infimów ,,ogonów'' ciągu:
Tu to koło ma promień nieskończony. 
Czyli ten szereg jest zbieżny w każdym punkcie z, czyli jest to dobra definicja. Policzmy iloczyn dwóch eksponensów.
Iloczyn dwóch szeregów bezwzględnie zbieżnych można policzyć sumując po prostu wszystkie kombinacje elementów (wystarczy żeby tylko jeden z nich był bezwzględnie zbieżny). 
Taki iloczyn nazywa się iloczynem Cauchyego. Po prostu dla każdego n bierzemy wszystkie iloczyny w których suma potęg jest równa n, a potem sumujemy to po wszystkich n. W ten sposób przemnożymy każdy element z każdym.
Czyli w zwięzłej postaci
Teraz pozostało nam już tylko przekształcenie tego na dwumian Newtona.
Czyli rzeczywiście eksponens sumy to iloczyn eksponensów.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz